[확통] 왜 nPr(순열)에선 마지막에 n-r+1이 붙는 걸까?

순열 공식은 nPr이다.

이 공식을 나열하면 n(n-1)(n-2)...(n-r+1)이라고 하는데

왜 마지막이 n-r+1인지 궁금하신 분들이 있으실 거 같다.

 

먼저 아주 단순한 방법으로 숫자를 대입해봄으로써 증명이 가능한데

5P3을 예시로 봤을 때 5P3은 5x4x3이다.

그리고 5P3에서 n은 5고 r은 3이다.

 

순열 공식 nPr = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)에 대입해보면

5P3 = 5(5-1)(5-2)(5-3+1)

= 5X4X3

 

즉 공식에 숫자를 대입해보니 5X4X3이 나왔다.

 

 

숫자를 넣는 것 외에 또 다른 방법으로도 설명이 가능하다.

이건 갑자기 뜬금없는 글이 튀어나오기도 하고, 조금 어려울 수 있으니 의식의 흐름 가는 대로 읽는 걸 추천드린다.

 

 

r이 2일 땐 마지막 n에서 1을 뺀다.

r이 3일 땐 마지막 n에서 2를 뺀다.

r이 4일 땐 마지막 n에서 3을 뺀다.

 

위의 3개를 보면 규칙이 있다.

파랑색 숫자에서 1을 빼주면 빨간색 숫자가 나온다는 점이다.

예) r이 2일 땐 마지막 n에서 (2-1=)1을 뺀다.

위의 글을 기호로 나타내면 아래와 같이 쓸 수 있다.

 

r이 2일 땐 마지막 n에서 1을 뺀다.

r이 3일 땐 마지막 n에서 2를 뺀다.

r이 4일 땐 마지막 n에서 3을 뺀다.

 

r이 r일 땐 마지막 n에서 r-1을 뺀다.

 

마지막 n에서 r-1을 뺀다니,

이게 무슨 소리인지도 잘 모르겠고

갑자기 왜 이런 걸 적는지 의문이 들 수도 있는데

일단은 아, 그렇구나 하고 넘어가자.

 

위에 적은 걸 잠시 뒤로 미뤄두고

어떤 수학 문제에서 만약 5P2를 계산하라고 했을 때

어떻게 계산을 해야 할까?? 아마 5(5-1)5(5-1)로 계산할 것이다.

 

여기서 잠깐!

 

5P2에서 n은 5, r은 2다. (nPr을 생각해보자. r자리에 2, n자리에 5가 들어간 것이다)

위에서 ‘r이 2일 땐 마지막 n에서 1을 뺀다.’고 했었다. (여기서 n은 5가 된다)

‘5(5-1)’을 보니 1을 뺀 걸 확인할 수 있다.

 

5P3을 계산하라고 했을 때

식을 풀어보면 5(5-1)(5-2)이 된다. 5P3에서 r은 3이다.

위에서 ‘r이 3일 땐 마지막 n에서 2를 뺀다.’고 했었다.

‘5(5-1)(5-2)’에서 마지막에 2를 뺀 걸 확인할 수 있다.

 

5P4에서 r은 4다. 5P4의 식을 풀어보면

5(5-1)(5-2)(5-3)인데

위에서 ‘r이 4일 땐 마지막 n에서 3을 뺀다.’고 했었다.

실제로 5(5-1)(5-2)(5-3)에서 마지막에 3을 뺄 걸 확인할 수 있다.

 

그렇다면 이젠 nPr을 계산한다고 해보자.

위에서 ‘r이 r일 땐 마지막 n에서 r-1’을 뺀다고 했었다.

 

nPr의 식을 써보면 n(n-1)(n-2)...(n-(r-1))

정리해서 다시 써보면

 

nPr = n(n-1)(n-2)...(n-(r-1))

= n(n-1)(n-2)...(n-r+1)

 

즉 nPr = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) 이 된다.

 

처음에 바로 이해하기가 어려울 수 있다.

여러 차례 계속 반복해서 보면 조금씩 이해가 갈 것이다.