[확통] 왜 n!/(n-r)!은 nPr일까?

 

 

= nPr이다.

 

 

왜일까?

오늘은 그 이유에 대해 알아보려 한다.

 

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1. 먼저 n!을 전개해보자.

n!을 전개하면

 

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)(n-r)(n-r-1)...3X2X1 이 된다.

 

(보통 n!은 = n(n-1)(n-2)...3X2X1로 표현하거나

1X2X3....(n-2)(n-1)n로 표현하는데 위에 n! 식은 그걸 좀 더 상세히 풀어놓은 것이다.)

 

2. n!을 나눠보자.

 

n!을 /(슬래시) 로 끊어주려고 한다.

 

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)/(n-r)(n-r-1)...3X2X1

 

즉 n!은 n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)과

(n-r)(n-r-1)...3X2X1 으로 나눠졌다.

 

이렇게 2개로 나눠서 보니

‘n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)’

이거 어디서 많이 본 것 같지 않은가?

바로 nPr의 공식이다.

nPr은 전개하면 ‘n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)’ 로 나온다.

 

그럼 ‘n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)’은 nPr이란 걸 머릿속에 담아두고

다음으로 넘어가자

 

 

(n-r)(n-r-1)...3X2X1은 뒤집어서

1X2X3...(n-r-1)(n-r)로도 표현해도 무방한데(5x4나 4x5나 결과값은 똑같은 것처럼)

즉 1부터 (n-r)까지 곱해준 거라고 볼 수 있다.

그렇다면 (n-r)!으로 표기가 가능하다.

 

n!을 생각하면 이해할 수 있다.

n!은 1부터 n까지의 수를 곱한 것이다.

예) n! = 1X2X3....n

 

1X2X3...(n-r-1)(n-r) 식에선 n대신 (n-r)이 들어간 것이고

즉 (n-r)! = 1x2x3....(n-r) 이 된다.

 

결론은 (n-r)(n-r-1)...3X2X1 = (n-r)!이라는 것이다.

 

처음으로 돌아와서 우리는 왜

nPr이 n!/(n-r)!인지를 알아내려고 했었는데

 

n!/(n-r)!은 아래와 같이 표현이 가능하다.

 

식을 보면 ‘(n-r)(n-r-1)...3*2*1’이 분모와 분자에 공통적으로 있는 것이 보일 것이다.

즉 (n-r)!이 분모 분자에 공통적으로 있는데 나누기로

분모, 분자에 있는 ‘(n-r)(n-r-1)...3*2*1’을 서로 지워주면

 

위의 사진과 같은 식만 남는다.

 

n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+1)은 nPr의 공식이다.

 

결론적으로 n!을 (n-r)!으로 나눴더니 nPr만 남게 되었다.

이것이 n!/(n-r)!이 nPr인 이유다!

 

 

 

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