[확통] 연속활률분포 - 균등분포가 뭘까?

[목차]

 

1. 균등분포

 

- 이산확률분포 크게 중요하지 않다.

- 빈도분포와 정규분포만 다룸

 

2. 정규분포(정말중요)

 

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1. 균등분포

- 균등분포는 확률밀도함수가 일정한 것이다.

 

- x가 a보다 작거나 

x가 b보다 크다면 0 즉 확률이 없다고 본다.

확률은 즉 a와 b 사이(빗금친 곳)를 통해서 구할 수 있다는 것이다.

 

- 1/(b-a)인 이유는

왼쪽 그림 보면 알 수 있다.

a와 b 로 이루어진 것의 확률밀도함수를 구하려면

b-a(밑변) * h(높이) = 1 이면 된다.

여기서 h를 구하면 1/(b-a)가 된다.

 

 

- 분포함수는 적분을 해야 구할 수 있다.

- 마이너스 무한대에서 x 까지 확률밀도함수를 적분하면 구할 수 있다.

- a에서 b 사이에서 값이 있다고 했으니 마이너스 무한대에서부터 구할 필요없고

a에서 x까지만 구하면 된다.

- x는 현재 1/(b-a)다.

 

- 분포함수의 경우 a 전까지는 확률이 없고

b이상부턴 1로 유지가 되는 걸 확인할 수 있다.

 

 

균등분포의 평균과 분산

균등분포 평균

- 평균은 마이너스 무한대에서 무한대까지 x에 f(x)를 곱해서 적분하면 구할 수 있다.

- 현재 범위가 a에서 b이기 때문에 무한대들 대신 a랑 b 삽입

- f(x)는 1/b-1였기 때문에 1/(b-1)을 삽입한다.

-  나머지는 연산이다.

 

 

균등분포 분산

 

- E(X^2) - 기댓값에 대한 제곱을 빼면 분산이 나온다.

 

 

예제 4-18

 

 

(a) 확률변수 X의 확률밀도함수를 구하라

 

- 0에서 30분, 분 단위로 이야기했을 때 0에서 30분 사이의 일정한

값을 가질 수 있는 것이다.

- 넓이가 1이어야 하니까 높이는 1/30일 수 밖에 없다.

- 가로가 30으로 고정이 되어버렸기 때문이다.

- 그래서 x가 0에서 30사이일 땐 확률밀도함수는 1/30을 가진다.

 - 그 외에는 0을 갖는다.

 

 

(b) 확률변수 X의 분포함수를 구하라

- 분포함수는 0까지는 값이 없다.

 - 값이 있는경우는 0에서 30 사이일 때다.

- 0에서 x까지 적분을 하는데, 1/30을 t로 적분하는 것이다.

- 균등분포함수 식을 생각하면 된다.

 

(c) 지하철을 5분 미만으로 기다릴 확률을 구하라

- 7시에서 7시 30분 사이에 A 역에 도착하는데

기차는 7시 15분과 7시 45분에 도착한다.

-  기차를 5분도 안 기다려서 탈려면 7시 10분에서 15분 사이에 도착하거나

7시 25분에서 30분 사이에 도착하면 기차를 탈 수 있다.

- 이 두 영역이 5분 미만으로 탈 수 있는 영역이 된다.

 

 

- 이 사람이  도착하는 시간의 범위가 7시 30분에서 0이니까 

30 - 0 이 전체 범위가 될 수 있다.

- 이중에서 5분 미만으로 기다릴 확률은 

7시 15 - 7시 10분이고, 7시 30분에서 7시 25분이니까

계산해주면 1/3이 나온다.

- 길이의 비로써 확률을 구한 것이다.

 

 

(d) 확률변수 X의 기댓값과 분산을 각각 구하라.

 

 

- 기댓값과 분산 공식에 대입해서 풀면되는 문제다.

 

 

2. 정규분포

 

 

정규분포의 성질

 

 

 

 

 

 

- N(0, 1) 은 평균이 0이고 분산이 1일 땐 표준편차가 1이다?

- 확률을 z 위치까지 누적시킨 걸 의미한다.

- 파이 z는 확률변수 Z가 소문자(z) 이하일 확률을 의미한다.

- 이건 결국 마이너스 무한대에서 z까지  적분하면 구할 수 있다.

 

예제 4-19

 

- 평균 M = 50이고, 시그마 제곱이 8^2이라고 한다.

- 이때 확률변수 X가 50~60 사이일 확률을 구하라

- 이런 문제에서 우선 50 <= X <= 60 에 있는 X를 Z로 고쳐야 한다.

- 여기서 Z는 (X-50)/8 로 구할 수 있다. 

- 중앙만 그렇게 하는 게 아니고, 양 옆도 똑같이 해줘야 한다.

 

 

예제 4-20

 

(a) 자동차 부품 하나를 임의로 추출했을 때, 그 부품의 수명이 900일에서

1,100일 사이일 확률을 구하라

 

 

 

- 정규분표를 표준분포표로 바꿔서 표를 통해서 구해야 한다.

 

 

(b) 부품의 수명이 1,150일 이상일 확률을 구하라.

 

 

- 그림에서 마이너스 무한대에서 파이삼까지 빼면 빗금친 부분을 구할 수 있다.

- 전체는 1이니까 1로 작성했다.

 

 

예제 4-21

 

 

(a) 이 배수 시스템의 설계에서 폭우가 내릴 때 범람할 확률을 구하라

 

 

- 최대 배수량이 2.0mgd 임으로

P(X=> 2.0) 을 구하면 된다.

- 이걸 표준정규분포표로 바꿔야 한다.

- 평균은 1.2이고 퓨준편차는 0.4니 이걸 대입해서 풀면 된다.

- 2보다 크다는 건 전체 1에서 파이 2를 빼주면 빗금친 부분을 구할 수 있다.

 

 

(b) 폭우가 내리는 동안 배수량이 1.0mgd와 1.6mgd 사이일 확률을 구하라

 

- 마이너스 0.5 파이는 표에 안 나와있어서

전체에서 플러스 0.5 파이를 빼면 마이너스 0.5 파이를 구할 수 있다.

 

(c) 폭우가 내리는 동안 도시 배수 시스템의 용량이 90%까지 발생할

임계 배수량을 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하라

 

- 경계값인 C값을 찾아야 하는 문제다.

- 0.9에 가까운 게 1.28 파이다.

 

 

예제 4-23

- a 정답: 영어

 

- 수학의 표준정규분포는 2다.

- 영어는 85점에서 평균 80 빼고, 표준편차 5를 나눠주면 1이 나온다.

 

- 수학점수가 영어점수보다 평균으로부터 오른쪽으로 더 멀리 떨어져 있다.

- 수학을 더 잘봤다고 할 수 있다.

 

 

지수분포

 

- 지수분포는 지수함수에 들어있는 것이다.

 

- 마이너스 무한대에서 x까지 증가했는데 앞에 f(x)가

쎄타 분에 일 익스포네이션 마이너스 쎄타분에 티

곱하기 dt이다.

 

- 0 이하부턴 값이 없어서 마이너스 무한대를 0으로 바꿔줌

 

- 이걸 적분하면 위의 식처럼 전개되는 것이다.

 

 

 

 

 

- Skip 적률생성함수

- 지수분포의 평균과 분산(람다)있는 거 버림

- 식 유도는 생략했음

 

- 지수분포 부분 pass

- 5단원 초반을 익히자